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現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展與意義
現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展與意義
關鍵詞：現(xiàn)代數(shù)學歷史意義現(xiàn)代數(shù)學時期是指由19世紀20年代至今，這一時期數(shù)學主要研究的是最一般的數(shù)量關系和空間形式，數(shù)和量僅僅是它的極特殊的情形，通常的一維、二維、三維空間的幾何形象也僅僅是特殊情形。抽象代數(shù)、拓撲學、泛函分析是整個現(xiàn)代數(shù)學科學的主體部分。它們是大學數(shù)學專業(yè)的課程，非數(shù)學專業(yè)也要具備其中某些知識。變量數(shù)學時期新興起的許多學科，蓬勃地向前發(fā)展，內(nèi)容和方法不斷地充實、擴大和深入。
18、19世紀之交，數(shù)學已經(jīng)達到豐沛茂密的境地，似乎數(shù)學的寶藏已經(jīng)挖掘殆盡，再沒有多大的發(fā)展余地了。然而，這只是暴風雨前夕的寧靜。19世紀20年代，數(shù)學革命的狂飆終于來臨了，數(shù)學開始了一連串本質(zhì)的變化，從此數(shù)學又邁入了一個新的時期——現(xiàn)代數(shù)學時期。
19世紀前半葉，數(shù)學上出現(xiàn)兩項革命性的發(fā)現(xiàn)——非歐幾何與不可交換代數(shù)。
大約在1826年，人們發(fā)現(xiàn)了與通常的歐幾里得幾何不同的、但也是正確的幾何——非歐幾何。這是由羅巴契夫斯基和里耶首先提出的。非歐幾何的出現(xiàn)，改變了人們認為歐氏幾何唯一地存在是天經(jīng)地義的觀點。它的革命思想不僅為新幾何學開辟了道路，而且是20世紀相對論產(chǎn)生的前奏和準備。
后來證明，非歐幾何所導致的思想解放對現(xiàn)代數(shù)學和現(xiàn)代科學有著極為重要的意義，因為人類終于開始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本質(zhì)。從這個意義上說，為確立和發(fā)展非歐幾何貢獻了一生的羅巴契夫斯基不愧為現(xiàn)代科學的先驅(qū)者。
1854年，黎曼推廣了空間的概念，開創(chuàng)了幾何學一片更廣闊的領域——黎曼幾何學。非歐幾何學的發(fā)現(xiàn)還促進了公理方法的深入探討，研究可以作為基礎的概念和原則，分析公理的完全性、相容性和獨立性等問題。1899年，希爾伯特對此作了重大貢獻。
在1843年，哈密頓發(fā)現(xiàn)了一種乘法交換律不成立的代數(shù)——四元數(shù)代數(shù)。不可交換代數(shù)的出現(xiàn)，改變了人們認為存在與一般的算術代數(shù)不同的代數(shù)是不可思議的觀點。它的革命思想打開了近代代數(shù)的大門。
另一方面，由于一元方程根式求解條件的探究，引進了群的概念。19世紀20～30年代，阿貝爾和伽羅華開創(chuàng)了近代代數(shù)學的研究。近代代數(shù)是相對古典代數(shù)來說的，古典代數(shù)的內(nèi)容是以討論方程的解法為中心的。群論之后，多種代數(shù)系統(tǒng)(環(huán)、域、格、布爾代數(shù)、線性空間等)被建立。這時，代數(shù)學的研究對象擴大為向量、矩陣，等等，并漸漸轉(zhuǎn)向代數(shù)系統(tǒng)結構本身的研究。
上述兩大事件和它們引起的發(fā)展，被稱為幾何學的解放和代數(shù)學的解放。19世紀還發(fā)生了第三個有深遠意義的數(shù)學事件：分析的算術化。1874年威爾斯特拉斯提出了一個引人注目的例子，要求人們對分析基礎作更深刻的理解。他提出了被稱為“分析的算術化”的著名設想，實數(shù)系本身最先應該嚴格化，然后分析的所有概念應該由此數(shù)系導出。他和后繼者們使這個設想基本上得以實現(xiàn)，使今天的全部分析可以從表明實數(shù)系特征的一個公設集中邏輯地推導出來。
現(xiàn)代數(shù)學家們的研究，遠遠超出了把實數(shù)系作為分析基礎的設想。歐幾里得幾何通過其分析的解釋，也可以放在實數(shù)系中；如果歐氏幾何是相容的，則幾何的多數(shù)分支是相容的。實數(shù)系(或某部分)可以用來解群代數(shù)的眾多分支；可使大量的代數(shù)相容性依賴于實數(shù)系的相容性。事實上，可以說：如果實數(shù)系是相容的，則現(xiàn)存的全部數(shù)學也是相容的。
19世紀后期，由于狄德金、康托和皮亞諾的工作，這些數(shù)學基礎已經(jīng)建立在更簡單、更基礎的自然數(shù)系之上。即他們證明了實數(shù)系(由此導出多種數(shù)學)能從確立自然數(shù)系的公設集中導出。20世紀初期，證明了自然數(shù)可用集合論概念來定義，因而各種數(shù)學能以集合論為基礎來講述。
拓撲學開始是幾何學的一個分支，但是直到20世紀的第二個1/4世紀，它才得到了推廣。拓撲學可以粗略地定義為對于連續(xù)性的數(shù)學研究�？茖W家們認識到：任何事物的集合，不管是點的集合、數(shù)的集合、代數(shù)實體的集合、函數(shù)的集合或非數(shù)學對象的集合，都能在某種意義上構成拓撲空間。拓撲學的概念和理論，已經(jīng)成功地應用于電磁學和物理學的研究。
20世紀有許多數(shù)學著作曾致力于仔細考查數(shù)學的邏輯基礎和結構，這反過來導致公理學的產(chǎn)生，即對于公設集合及其性質(zhì)的研究。許多數(shù)學概念經(jīng)受了重大的變革和推廣，并且像集合論、近世代數(shù)學和拓撲學這樣深奧的基礎學科也得到廣泛發(fā)展。一般(或抽象)集合論導致的一些意義深遠而困擾人們的悖論，迫切
需要得到處理。邏輯本身作為在數(shù)學上以承認的前提去得出結論的工具，被認真地檢查，從而產(chǎn)生了數(shù)理邏輯。邏輯與哲學的多種關系，導致數(shù)學哲學的各種不同學派的出現(xiàn)。
20世紀40～50年代，世界科學史上發(fā)生了三件驚天動地的大事，即原子能的利用、電子計算機的發(fā)明和空間技術的興起。此外還出現(xiàn)了許多新的情況，促使數(shù)學發(fā)生急劇的變化。這些情況是：現(xiàn)代科學技術研究的對象，日益超出人類的感官范圍以外，向高溫、高壓、高速、高強度、遠距離、自動化發(fā)展。以長度單位為例、小到1塵(毫微微米，即10^-15米)，大到100萬秒差距(325.8萬光年)。這些測量和研究都不能依賴于感官的直接經(jīng)驗，越來越多地要依靠理論計算的指導。其次是科學實驗的規(guī)模空前擴大，一個大型的實驗，要耗費大量的人力和物力。為了減少浪費和避免盲目性，迫切需要精確的理論分機和設計。再次是現(xiàn)代科學技術日益趨向定量化，各個科學技術領域，都需要使用數(shù)學工具。數(shù)學幾乎滲透到所有的科學部門中去，從而形成了許多邊緣數(shù)學學科，例如生物數(shù)學、生物統(tǒng)計學、數(shù)理生物學、數(shù)理語言學等等。
上述情況使得數(shù)學發(fā)展呈現(xiàn)出一些比較明顯的特點，可以簡單地歸納為三個方面：計算機科學的形成，應用數(shù)學出現(xiàn)眾多的新分支、純粹數(shù)學有若干重大的突破。
1945年，第一臺電子計算機誕生以后，由于電子計算機應用廣泛、影響巨大，圍繞它很自然要形成一門龐大的科學。粗略地說，計算機科學是對計算機體系、軟件和某些特殊應用進行探索和理論研究的一門科學。計算數(shù)學可以歸入計算機科學之中，但它也可以算是一門應用數(shù)學。
計算機的設計與制造的大部分工作，通常是計算機工程或電子工程的事。軟件是指解題的程序、程序語言、編制程序的方法等。研究軟件需要使用數(shù)理邏輯、代數(shù)、數(shù)理語言學、組合理論、圖論、計算方法等很多的數(shù)學工具。目前電子計算機的應用已達數(shù)千種，還有不斷增加的趨勢。但只有某些特殊應用才歸入計算機科學之中，例如機器翻譯、人工智能、機器證明、圖形識別、圖象處理等。
應用數(shù)學和純粹數(shù)學(或基礎理論)從來就沒有嚴格的界限。大體上說，純粹數(shù)學是數(shù)學的這一部分，它暫時不考慮對其它知識領域或生產(chǎn)實踐上的直接應用，
它間接地推動有關學科的發(fā)展或者在若干年后才發(fā)現(xiàn)其直接應用；而應用數(shù)學，可以說是純粹數(shù)學與科學技術之間的橋梁。
20世紀40年代以后，涌現(xiàn)出了大量新的應用數(shù)學科目，內(nèi)容的.豐富、應用的廣泛、名目的繁多都是史無前例的。例如對策論、規(guī)劃論、排隊論、最優(yōu)化方法、運籌學、信息論、控制論、系統(tǒng)分析、可靠性理論等。這些分支所研究的范圍和互相間的關系很難劃清，也有的因為用了很多概率統(tǒng)計的工具，又可以看作概率統(tǒng)計的新應用或新分支，還有的可以歸入計算機科學之中等等。
20世紀40年代以后，基礎理論也有了飛速的發(fā)展，出現(xiàn)許多突破性的工作，解決了一些帶根本性質(zhì)的問題。在這過程中引入了新的概念、新的方法，推動了整個數(shù)學前進。例如，希爾伯特1990年在國際教學家大會上提出的尚待解決的23個問題中，有些問題得到了解決。60年代以來，還出現(xiàn)了如非標準分析、模糊數(shù)學、突變理論等新興的數(shù)學分支。此外，近幾十年來經(jīng)典數(shù)學也獲得了巨大進展，如概率論、數(shù)理統(tǒng)計、解析數(shù)論、微分幾何、代數(shù)幾何、微分方程、因數(shù)論、泛函分析、數(shù)理邏輯等等。
當代數(shù)學的研究成果，有了幾乎爆炸性的增長�？d數(shù)學論文的雜志，在17世紀末以前，只有17種(最初的出于1665年)；18世紀有210種；19世紀有950種。20世紀的統(tǒng)計數(shù)字更為增長。在本世紀初，每年發(fā)表的數(shù)學論文不過1000篇；到1960年，美國《數(shù)學評論》發(fā)表的論文摘要是7824篇，到1973年為20410篇，1979年已達52812篇，文獻呈指數(shù)式增長之勢。數(shù)學的三大特點—高度抽象性、應用廣泛性、體系嚴謹性，更加明顯地表露出來。
今天，差不多每個國家都有自己的數(shù)學學會，而且許多國家還有致力于各種水平的數(shù)學教育的團體。它們已經(jīng)成為推動數(shù)學發(fā)展的有力因素之一。目前數(shù)學還有加速發(fā)展的趨勢，這是過去任何一個時期所不能比擬的�，F(xiàn)代數(shù)學雖然呈現(xiàn)出多姿多彩的局面，但是它的主要特點可以概括如下：(1)數(shù)學的對象、內(nèi)容在深度和廣度上都有了很大的發(fā)展，分析學、代數(shù)學、幾何學的思想、理論和方法都發(fā)生了驚人的變化，數(shù)學的不斷分化，不斷綜合的趨勢都在加強。(2)電子計算機進入數(shù)學領域，產(chǎn)生巨大而深遠的影響。(3)數(shù)學滲透到幾乎所有的科學領域，并且起著越來越大的作用，純粹數(shù)學不斷向縱深發(fā)展，數(shù)理邏輯和數(shù)學基礎已經(jīng)成為整個數(shù)學大廈基礎。
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