銳角三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)集錦
銳角三角函數(shù)是九年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)了函數(shù)概念以及反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)之后學(xué)習(xí)的又一種形式的函數(shù)，本文是小編整理銳角三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的資料，僅供參考。
銳角三角函數(shù)的定義
銳角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的銳角三角函數(shù)。
正弦等于對(duì)邊比斜邊
余弦等于鄰邊比斜邊
正切等于對(duì)邊比鄰邊
余切等于鄰邊比對(duì)邊
正割等于斜邊比鄰邊
余割等于斜邊比對(duì)邊
正切與余切互為倒數(shù)
它的本質(zhì)是任意角的集合與一個(gè)比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中定義的，其定義域?yàn)檎麄�(gè)實(shí)數(shù)域。另一種定義是在直角三角形中，但并不完全�，F(xiàn)代數(shù)學(xué)把它們描述成無窮數(shù)列的極限和微分方程的解，將其定義擴(kuò)展到復(fù)數(shù)系。
由于三角函數(shù)的周期性，它并不具有單值函數(shù)意義上的反函數(shù)。
它有六種基本函數(shù)(初等基本表示)：
函數(shù)名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，從點(diǎn)O引出一條射線OP，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為θ，設(shè)OP=r，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)有
正弦函數(shù) sinθ=y/r
余弦函數(shù) cosθ=x/r
正切函數(shù) tanθ=y/x
余切函數(shù) cotθ=x/y
正割函數(shù) secθ=r/x
余割函數(shù) cscθ=r/y
(斜邊為r，對(duì)邊為y，鄰邊為x。)
以及兩個(gè)不常用，已趨于被淘汰的函數(shù)：
正矢函數(shù) versinθ =1-cosθ
余矢函數(shù) coversθ =1-sinθ
銳角三角函數(shù)的性質(zhì)
1、銳角三角函數(shù)定義
銳角角A的正弦,余弦和正切都叫做角A的銳角三角函數(shù)
2、互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系。
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.
3、同角三角函數(shù)間的關(guān)系
平方關(guān)系：sin2α+cos2α=1
倒數(shù)關(guān)系：cotα=(或tanα·cotα=1)
商的關(guān)系：tanα= , cotα=.
(這三個(gè)關(guān)系的證明均可由定義得出)
4、三角函數(shù)值
(1)特殊角三角函數(shù)值
(2)0°～90°的任意角的三角函數(shù)值，查三角函數(shù)表。
(3)銳角三角函數(shù)值的變化情況
(i)銳角三角函數(shù)值都是正值
(ii)當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，
正弦值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)
余弦值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)
正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)
余切值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)
(iii)當(dāng)角度在0°≤α≤90°間變化時(shí)，
0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,
當(dāng)角度在0°<α<90°間變化時(shí)，
tanα>0, cotα>0.
銳角三角函數(shù)單元試測(cè)試題
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)
1.一段公路的坡度為1︰3，某人沿這段公路路面前進(jìn)100米，那么他上升的最大高度是
( D )
A.30米 B.10米 C. 米 D. 米
2.如圖，坡角為 的斜坡上兩樹間的水平距離AC為 ，則兩樹間的坡面距離AB為
( C )
A. B. C. D.
3.如圖，小雅家(圖中點(diǎn)O處)門前有一條東西走向的.公路，經(jīng)測(cè)得有一水塔(圖中點(diǎn)A處)
在她家北偏東60度500m處，那么水塔所在的位置到公路的距離AB是( A )
A.250m B. m C. m D. m
4.如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，已知CD=2，AC=3，則sinB的值是( C )
A. 2 3 B. 3 2 C. 3 4 D. 4 3
( 第2題 ) ( 第3題) ( 第4題)
5.如果∠A是銳角，且 ，那么∠A=( B )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
6. 等腰三角形的一腰長(zhǎng)為 ，底邊長(zhǎng)為 ，則其底角為( A )
A. B. C. D.
7.若平行四邊形相鄰兩邊的長(zhǎng)分別為10和15，它們的夾角為60°，則平行四邊形的面積
是( B )
A.150 B. C. 9 D. 7
8.在△ABC中，∠C=90°，BC=2， ，則邊AC的長(zhǎng)是( A )
A. B.3 C. D.
9.如圖，兩條寬度均為40 m的公路相交成α角，那么這兩條公路在相交處的公共部分(圖
中陰影部分)的路面面積是( A )
A. (m2) B. (m2) C.1600sinα(m2) D.1600cosα(m2)
10.如圖，延長(zhǎng)Rt△ABC斜邊AB到D點(diǎn)，使BD=AB，連結(jié)CD，若 tan∠BCD= ，則tanA=( C )
A.1 B. C. D.
( 第9題 ) ( 第10題)
二、填空題(本大題共4小題，每小題3分，共12分)
11.已知 為銳角, sin( )=0.625, 則cos =___ 0.625 。
12.如圖，一架梯子斜靠在墻上，若梯子底端到墻的距離AC=3米，cos∠BAC= ，則梯子長(zhǎng)AB = 4 米。
13.一棵樹因雪災(zāi)于A處折斷，如圖所示，測(cè)得樹梢觸地點(diǎn)B到樹根C處的距離為4米，
∠ABC約45°，樹干AC垂直于地面，那么此樹在未折斷之前的高度約為 米
(答案可保留根號(hào))。
14.如圖，張華同學(xué)在學(xué)校某建筑物的C點(diǎn)處測(cè)得旗桿頂部A點(diǎn)的仰角為 ，旗桿底部
點(diǎn)的俯角為 .若旗桿底部 點(diǎn)到建筑物的水平距離BE=9 米，旗桿臺(tái)階高1米，
則旗桿頂點(diǎn) 離地面的高度為 米(結(jié)果保留根號(hào))。
(第12題) (第13題) (第14題)
三、(本題共2小題，每小題5分，滿分10分)
15.如圖所示，某超市在一樓至二樓之間安裝有電梯，天花板與地面平行，請(qǐng)你根據(jù)圖中數(shù)
據(jù)計(jì)算回答:小敏身高1.78米，她乘電梯會(huì)有碰頭危險(xiǎn)嗎?
(可能用到的參考數(shù)值:sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.51)
15.作CD⊥AC交AB于D，則∠CAB=27°,在Rt ACD中，
CD=ACtan∠CAB=4×0.51=2.04(米)
所以小敏不會(huì)有碰頭危險(xiǎn)。
16.已知:如圖，在 ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6。求BC的長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào))。
16.解:過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D。
在Rt△ABD中，∠B =45°，
∴AD = BD=AB sinB= 。
在Rt ACD中，∠ACD = 60°，
∴tan60°= ，即 ，解得CD = 。
∴BC = BD + DC = + 。
四、(本題共2小題，每小題5分，滿分10分)
17.如圖，在某建筑物AC上，掛著“美麗家園”的宣傳條幅BC，小明站在點(diǎn)F處，看條幅
頂端B，測(cè)的仰角為 ，再往條幅方向前行20米到達(dá)點(diǎn)E處，看到條幅頂端B，測(cè)的
仰角為 ，求宣傳條幅BC的長(zhǎng)，(小明的身高不計(jì)，結(jié)果精確到0.1米)
17.解: ∵∠BFC = ，∠BEC = ，∠BCF =
∴∠EBF =∠EBC = ， ∴BE = EF = 20
在Rt⊿BCE中，
答:宣傳條幅BC的長(zhǎng)是17.3米。
18.如圖，甲船在港口 的北偏西 方向，距港口 海里的 處，沿AP方向以12
海里/時(shí)的速度駛向港口P.乙船從港口P出發(fā)，沿北偏東45°方向勻速駛離港口P，
現(xiàn)兩船同時(shí)出發(fā)，2小時(shí)后乙船在甲船的正東方向。求乙船的航行速度。(精確到0.1
海里/時(shí)，參考數(shù)據(jù) ， )
18.依題意，設(shè)乙船速度為 海里/時(shí)，2小時(shí)后甲船在點(diǎn)B處，乙船在點(diǎn)C
處，作 于 ，則 海里， 海里。
在 中， ，
。
在 中， ，∴ ，
∴ ，∴ 。
答:乙船的航行速度約為19.7海里/時(shí)。
五、(本題共2小題，每小題6分，滿分12分)
19.陽光明媚的一天，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們?nèi)y(cè)量一棵樹的高度(這棵樹底部可以到達(dá)，
頂部不易到達(dá))，他們帶了以下測(cè)量工具:皮尺、標(biāo)桿、一副三角尺、小平面鏡。請(qǐng)你
在他們提供的測(cè)量工具中選出所需工具，設(shè)計(jì)一種測(cè)量方案。
(1)所需的測(cè)量工具是: ;
(2)請(qǐng)?jiān)谙聢D中畫出測(cè)量示意圖;
(3)設(shè)樹高AB的長(zhǎng)度為x，請(qǐng)用所測(cè)數(shù)據(jù)(用小寫字母表示)求出x。
19.解:(1)皮尺、標(biāo)桿。
(2)測(cè)量示意圖如圖所示。
(3)如圖，測(cè)得標(biāo)桿DE=a，樹和標(biāo)桿的影長(zhǎng)分別為AC=b，EF=c
∵△DEF∽△BAC，∴ ，
∴ ，∴ 。
20.梯形ABCD是攔水壩的橫斷面圖，(圖中 是指坡面的鉛直高度DE與水平寬度CE
的比)，∠B=60°，AB=6，AD=4，求攔水壩的橫斷面ABCD的面積。(結(jié)果保留三位有效
數(shù)字，參考數(shù)據(jù): ， )
20.52.0
六、(本大題滿分8分)
21.某地震救援隊(duì)探測(cè)出某建筑物廢墟下方點(diǎn) C 處有生命跡象，已知廢墟一側(cè)地面上兩探
測(cè)點(diǎn)A、B 相距 3 米，探測(cè)線與地面的夾角分別是30°和 60°(如圖)，試確定生命
所在點(diǎn) C 的深度.(結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù): )
21.
七、(本大題滿分8分)
22.如圖，AC是某市環(huán)城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其與環(huán)城路AC的交
叉路口分別是A，B，C.經(jīng)測(cè)量花卉世界D位于點(diǎn)A的北偏東45°方向、點(diǎn)B的北偏東
30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°。
(1)求B、D之間的距離;
(2)求C、D之間的距離。
22.解:(1)如圖，由題意得，∠EAD=45°，∠FBD=30°。
∴ ∠EAC=∠EAD+∠DAC =45°+15°=60°。
∵ AE∥BF∥CD，
∴ ∠FBC=∠EAC=60°.
∴ ∠DBC=30°。
又∵ ∠DBC=∠DAB+∠ADB，
∴ ∠ADB=15°。
∴ ∠DAB=∠ADB. ∴ BD=AB=2。
即B，D之間的距離為2km。
(2)過B作BO⊥DC，交其延長(zhǎng)線于點(diǎn)O，
在Rt△DBO中，BD=2，∠DBO=60°。
∴ DO=2×sin60°= ，BO=2×cos60°=1。
在Rt△CBO中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°= ，
∴ CD=DO-CO= (km)。
即C，D之間的距離為 km。
八、(本大題滿分10分)
23.如圖，某邊防巡邏隊(duì)在一個(gè)海濱浴場(chǎng)岸邊的A點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)海中的B點(diǎn)有人求救，便立即派
三名救生員前去營(yíng)救.1號(hào)救生員從A點(diǎn)直接跳入海中;2號(hào)救生員沿岸邊(岸邊看成是
直線)向前跑到C點(diǎn)，再跳入海中;3號(hào)救生員沿岸邊向前跑300米到離B點(diǎn)最近的D
點(diǎn)，再跳入海中。救生員在岸上跑的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒。
若∠BAD=45°,∠BCD=60°，三名救生員同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，請(qǐng)說明誰先到達(dá)營(yíng)救地點(diǎn)B。
(參考數(shù)據(jù) ， )
23.解:在 中， 。
。 。
在 中， ，
。 。
1號(hào)救生員到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間為: (秒)，
2號(hào)救生員到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間為: (秒)，
3號(hào)救生員到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間為 (秒)，
， 號(hào)救生員先到達(dá)營(yíng)救地點(diǎn)B。
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