奧數(shù)練習題：完全平方數(shù)的數(shù)論
奧數(shù)是一種理性的精神，使人類的思維得以運用到最完善的程度.讓我們一起來閱讀關于完全平方數(shù)的數(shù)論練習,感受奧數(shù)的奇異世界!
1、一個自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù)，求此數(shù)。
解：設此自然數(shù)為x，依題意可得
x-45=m^2;(1)
x+44=n^2(2)
(m,n為自然數(shù))
(2)-(1)可得:
n^2-m^2=89或：(n-m)(n+m)=89
因為n+m>n-m
又因為89為質數(shù)，
所以：n+m=89;n-m=1
解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然數(shù)是1981。
2、求證：四個連續(xù)的整數(shù)的積加上1，等于一個奇數(shù)的平方(1954年基輔數(shù)學競賽題)。
分析設四個連續(xù)的`整數(shù)為，其中n為整數(shù)。欲證
是一奇數(shù)的平方，只需將它通過因式分解而變成一個奇數(shù)的平方即可。
證明設這四個整數(shù)之積加上1為m，則
m為平方數(shù)
而n(n+1)是兩個連續(xù)整數(shù)的積，所以是偶數(shù);又因為2n+1是奇數(shù)，因而n(n+1)+2n+1是奇數(shù)。這就證明了m是一個奇數(shù)的平方。
3、求證：11,111,1111,這串數(shù)中沒有完全平方數(shù)(1972年基輔數(shù)學競賽題)。
分析形如的數(shù)若是完全平方數(shù)，必是末位為1或9的數(shù)的平方，即
或
在兩端同時減去1之后即可推出矛盾。
證明若，則
因為左端為奇數(shù)，右端為偶數(shù)，所以左右兩端不相等。
若，則
因為左端為奇數(shù)，右端為偶數(shù)，所以左右兩端不相等。
綜上所述，不可能是完全平方數(shù)。
另證由為奇數(shù)知，若它為完全平方數(shù)，則只能是奇數(shù)的平方。但已證過，奇數(shù)的平方其十位數(shù)字必是偶數(shù)，而十位上的數(shù)字為1，所以不是完全平方數(shù)。
4、求滿足下列條件的所有自然數(shù)：
(1)它是四位數(shù)。
(2)被22除余數(shù)為5。
(3)它是完全平方數(shù)。
解：設，其中n,N為自然數(shù)，可知N為奇數(shù)。
11|N-4或11|N+4
或
k=1
k=2
k=3
k=4
k=5
所以此自然數(shù)為1369,2601,3481,5329,6561,9025。
5、甲、乙兩人合養(yǎng)了n頭羊，而每頭羊的賣價又恰為n元，全部賣完后，兩人分錢方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此輪流，拿到最后，剩下不足十元，輪到乙拿去。為了平均分配，甲應該補給乙多少元(第2屆“祖沖之杯”初中數(shù)學邀請賽試題)?
解：n頭羊的總價為元，由題意知元中含有奇數(shù)個10元，即完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)。如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個位數(shù)字一定是6。所以，的末位數(shù)字為6，即乙最后拿的是6元，從而為平均分配，甲應補給乙2元。
為您提供的關于完全平方數(shù)的數(shù)論練習，希望給您帶來啟發(fā)!
【奧數(shù)練習題：完全平方數(shù)的數(shù)論】相關文章：
小學數(shù)論奧數(shù)題庫07-19
數(shù)論奧數(shù)專項分析08-01
工程數(shù)論的奧數(shù)習題07-31
奧數(shù)題數(shù)論：運原料07-30