數(shù)學(xué)思維與解題方法
做任何事情都要講究方法。方法對(duì)頭，事半功倍；方法不當(dāng)，事倍功半。解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，關(guān)鍵也在于掌握思考問(wèn)題的方法，少走彎路，以盡快獲得滿意的答案。下面是小編整理的數(shù)學(xué)思維與解題方法，歡迎閱讀！
一、分析法與綜合法
分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問(wèn)題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問(wèn)題。對(duì)于解答證明來(lái)說(shuō)，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。為便于讀者熟練地掌握這兩種方法，從而獲得希望成功的解題思路，現(xiàn)舉例說(shuō)明如下。
例1．設(shè)a、b是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．
證明：(用分析法思路書(shū)寫(xiě))
要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，
只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，
即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)
只需證a2-2ab+b2＞0成立，
即需證(a-b)2＞0成立。
而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此命題得證。
(以下用綜合法思路書(shū)寫(xiě))
∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0
亦即a2-ab+b2＞ab
由題設(shè)條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab
即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證。
從例1容易看出，分析法的特點(diǎn)是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實(shí)際上是要尋找它的充分條件。綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實(shí)際上是要尋找它的必要條件。
從例1也不難發(fā)現(xiàn)，分析法和綜合法各有其優(yōu)缺點(diǎn)：從尋求解題思路來(lái)看，分析法執(zhí)果索因，常常根底漸近，有希望成功；綜合法由因?qū)Ч�，往往枝�?jié)橫生，不容易奏效。從表達(dá)過(guò)程而論，分析法敘述繁鎖，文辭冗長(zhǎng)；綜合法形式簡(jiǎn)潔，條理清晰。也就是說(shuō)，分析法利于思考，綜合法宜于表達(dá)。因此，在實(shí)際解題時(shí)，常常把這兩種方法結(jié)合起來(lái)使用：先以分析法為主尋求解題思路；再用綜合法有條理地表達(dá)解題過(guò)程。請(qǐng)?jiān)倏聪旅娴睦印?/p>
思考方法：先從待證結(jié)論出發(fā)(用分析法)，結(jié)論左邊是兩個(gè)算術(shù)根之和，稍作觀察便可發(fā)現(xiàn)，根號(hào)內(nèi)的代數(shù)式都是完全平方式，所以要證明結(jié)論成立，只要證明│a-2│+│a-b│=4就可以了。于是，解題的.關(guān)鍵在于確定a的取值范圍，以去掉絕對(duì)值符號(hào)。再?gòu)囊阎獥l件來(lái)想(用綜合法)，已知a為實(shí)數(shù)，關(guān)于x的二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則其根的判別式△＜0，由此便可探明a的取值范圍，這樣，和上面的分析聯(lián)系起來(lái)，原題便可解出。簡(jiǎn)證如下：
證明：∵已知的關(guān)于x的二次方程無(wú)實(shí)根，
∴判別式△=(-2a)2-4·4·(2a-3)＜0
整理，得a2-8a+12＜0
于是，解得2＜a＜6
∴欲證的恒等式左邊=│a-2│+│a-6│
=(a-2)+(6-a)=4=右邊
∴命題得證
下面請(qǐng)讀者試著練習(xí)：
2、已知二次方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的兩根分別在0～1和1～2內(nèi)(不包括0，1，2這三個(gè)數(shù))，求k的范圍。
(提示：聯(lián)系二次函數(shù)圖象的特征，可有：當(dāng)然x=0或2時(shí)，方程左邊大于0；當(dāng)x=1時(shí)，方程左邊小于0)
二、變更問(wèn)題法
解答數(shù)學(xué)題，實(shí)質(zhì)上就是通過(guò)由因?qū)Ч驁?zhí)果索因，確立題中條件與問(wèn)題或條件與結(jié)論邏輯上的必然聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)由已知向未知的轉(zhuǎn)化。一般說(shuō)來(lái)，對(duì)于結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，通過(guò)適當(dāng)?shù)胤治雠c綜合就能找到合理的解題途徑。但對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜、抽象多變的數(shù)學(xué)題，常常要從變更問(wèn)題的角度，去探討解題的思考方法。
所謂變更問(wèn)題，就是在直接求解原問(wèn)題難以入手時(shí)，把原問(wèn)題作適當(dāng)?shù)淖兏斐梢粋�(gè)或幾個(gè)比原問(wèn)題來(lái)得簡(jiǎn)單、難度較低、易于解答的新問(wèn)題，以通過(guò)對(duì)新問(wèn)題的考察，發(fā)現(xiàn)原問(wèn)題的解題思路，最終達(dá)到解決原問(wèn)題的目的。從某種意義上說(shuō)，解答數(shù)學(xué)題的關(guān)鍵，就在于對(duì)原問(wèn)題作一系列恰當(dāng)?shù)淖兏?/p>
變更問(wèn)題，既可以變更問(wèn)題的條件，也可以變更問(wèn)題的結(jié)論，還可以同時(shí)變更問(wèn)題的條件和結(jié)論。但是，變更問(wèn)題必須注意數(shù)學(xué)題的特點(diǎn)，使變更后得到的新問(wèn)題越熟悉越好（曾是解答過(guò)的問(wèn)題)，越簡(jiǎn)單越好(便于解答)，越特殊越好(變成特殊情形的問(wèn)題)，越直觀越好(抽象的問(wèn)題直觀化)等等。
例1．不存在整數(shù)a，b，c滿足a2+b2-8c=6
思考方法：本題不大容易入手，如把式子a2+b2-8c=6變形為a2+b2=8c+6，則原題變更為：證明不存在整數(shù)a和b，使它們的平方和被8除余6，顯然，變更后的問(wèn)題便是我們利用整數(shù)性質(zhì)易于證明的熟悉問(wèn)題了，可對(duì)整數(shù)的四種形式：4n、4n+1，4n+2，4n+3(n為整數(shù))逐一進(jìn)行驗(yàn)證，以說(shuō)明這四種形式中的任意兩種形式的平方和都不能滿足“被8除余6”。具體解題過(guò)程留給讀者，請(qǐng)用綜合法寫(xiě)出來(lái)。
例2．m為何值時(shí)，關(guān)于x的二次方程2(m+1)x2-4mx+3(m-1)=0(1)至少有一正根?
思考方法：至少有一個(gè)正根的情況比較復(fù)雜，可以分解為三個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題：一是有兩個(gè)正根；二是有一正根、一負(fù)根；三是有一正根和一根為0，故原題由此易解。此題亦可這樣來(lái)分析：方程(1)至少有一正根的反面，是有兩負(fù)根，這樣可先確定兩負(fù)根時(shí)m的取值范圍，而后解出原題。按后一種思路簡(jiǎn)解如下，前一種方法請(qǐng)讀者完成。
解：∵方程(1)有實(shí)根且為二次方程，
∴△=(-4m)2-4×2×3(m2-1)≥0且m+1≠0，
假設(shè)方程(1)有兩個(gè)負(fù)根，則有
經(jīng)解，上述不等式組無(wú)解，所以方程(1)不可能有兩負(fù)根(假設(shè)不成立)
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