高二數(shù)學知識點整理
數(shù)學學習重在平日功夫,不適于突擊復習。平日學習最重要的是 課堂 40 分鐘，高二數(shù)學是學習關鍵的一年，分享了高二數(shù)學知識點，歡迎大家收藏！
一、映射與函數(shù)：
�。�1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函數(shù)的概念：
二、函數(shù)的三要素：
相同函數(shù)的判斷方法：①對應法則 ；②定義域 (兩點必須同時具備)
�。�1）函數(shù)解析式的求法：
①定義法（拼湊）：②換元法：③待定系數(shù)法：④賦值法：
�。�2）函數(shù)定義域的求法：
�、俸瑓栴}的定義域要分類討論；
�、趯τ趯嶋H問題，在求出函數(shù)解析式后；必須求出其定義域，此時的定義域要根據(jù)實際意義來確定。
�。�3）函數(shù)值域的求法：
①配方法：轉化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；常轉化為型如： 的形式；
�、谀媲蠓ǎǚ辞蠓ǎ和ㄟ^反解，用 來表示 ，再由 的取值范圍，通過解不等式，得出 的取值范圍；常用來解，型如：
④換元法：通過變量代換轉化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；
�、萑怯薪绶ǎ恨D化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運用三角函數(shù)有界性來求值域；
�、藁静坏仁椒ǎ恨D化成型如： ，利用平均值不等式公式來求值域；
�、邌握{(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。
�、鄶�(shù)形結合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結合的方法來求值域。
三、函數(shù)的性質(zhì)：
函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性
單調(diào)性：定義：注意定義是相對與某個具體的區(qū)間而言。
判定方法有：定義法（作差比較和作商比較）
導數(shù)法（適用于多項式函數(shù)）
復合函數(shù)法和圖像法。
應用：比較大小，證明不等式，解不等式。
奇偶性：定義：注意區(qū)間是否關于原點對稱，比較f(x) 與f(-x)的關系。f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)為偶函數(shù)；
f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)為奇函數(shù)。
判別方法：定義法， 圖像法 ，復合函數(shù)法
應用：把函數(shù)值進行轉化求解。
周期性：定義：若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+T)=f(x),則T為函數(shù)f(x)的周期。
其他：若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+a)=f(x－a),則2a為函數(shù)f(x)的周期.
應用：求函數(shù)值和某個區(qū)間上的函數(shù)解析式。
四、圖形變換：
函數(shù)圖像變換：（重點）要求掌握常見基本函數(shù)的圖像，掌握函數(shù)圖像變換的一般規(guī)律。
常見圖像變化規(guī)律：（注意平移變化能夠用向量的語言解釋，和按向量平移聯(lián)系起來思考）
平移變換 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b
注意：（�。┯邢禂�(shù)，要先提取系數(shù)。如：把函數(shù)y＝f(2x)經(jīng)過 平移得到函數(shù)y＝f(2x＋4)的圖象。
（ⅱ）會結合向量的平移，理解按照向量 （m，n）平移的意義。
對稱變換 y=f(x)→y=f(－x),關于y軸對稱
y=f(x)→y=－f(x) ,關于x軸對稱
y=f(x)→y=f|x|,把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關于x軸對稱
y=f(x)→y=|f(x)|把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸右邊部分關于y軸對稱。（注意：它是一個偶函數(shù)）
伸縮變換：y=f(x)→y=f(ωx),
y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具體參照三角函數(shù)的圖象變換。
一個重要結論：若f(a－x)＝f(a+x)，則函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱；
六、集合與簡易邏輯：
一、理解集合中的有關概念
（1）集合中元素的特征： 確定性 ， 互異性 ， 無序性 。
�。�2）集合與元素的關系用符號=表示。
�。�3）常用數(shù)集的符號表示：自然數(shù)集 ；正整數(shù)集 ；整數(shù)集 ；有理數(shù)集 、實數(shù)集 。
�。�4）集合的表示法： 列舉法 ， 描述法 ， 韋恩圖 。
（5）空集是指不含任何元素的集合。
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
五、反函數(shù)：
�。�1）定義：
�。�2）函數(shù)存在反函數(shù)的條件：
�。�3）互為反函數(shù)的定義域與值域的關系：
（4）求反函數(shù)的步驟：①將 看成關于 的方程，解出 ，若有兩解，要注意解的選擇；②將 互換，得 ；③寫出反函數(shù)的定義域（即 的值域）。
�。�5）互為反函數(shù)的圖象間的關系：
�。�6）原函數(shù)與反函數(shù)具有相同的單調(diào)性；
（7）原函數(shù)為奇函數(shù)，則其反函數(shù)仍為奇函數(shù)；原函數(shù)為偶函數(shù)，它一定不存在反函數(shù)。
七、常用的初等函數(shù)：
�。�1）一元一次函數(shù)：
（2）一元二次函數(shù)：
一般式
兩點式
頂點式
二次函數(shù)求最值問題：首先要采用配方法，化為一般式，
有三個類型題型：
(1)頂點固定，區(qū)間也固定。如：
(2)頂點含參數(shù)(即頂點變動)，區(qū)間固定，這時要討論頂點橫坐標何時在區(qū)間之內(nèi)，何時在區(qū)間之外。
(3)頂點固定，區(qū)間變動，這時要討論區(qū)間中的參數(shù)．
等價命題 在區(qū)間 上有兩根 在區(qū)間 上有兩根 在區(qū)間 或 上有一根
注意：若在閉區(qū)間 討論方程 有實數(shù)解的情況，可先利用在開區(qū)間 上實根分布的情況，得出結果，在令 和 檢查端點的情況。
�。�3）反比例函數(shù)：
�。�4）指數(shù)函數(shù)：
指數(shù)函數(shù)：y= (a>o,a≠1)，圖象恒過點（0，1），單調(diào)性與a的值有關，在解題中，往往要對a分a>1和0<a<1兩種情況進行討論，要能夠畫出函數(shù)圖象的簡圖。 _extended="true"
�。�5）對數(shù)函數(shù)：
對數(shù)函數(shù)：y= (a>o,a≠1) 圖象恒過點（1，0），單調(diào)性與a的值有關，在解題中，往往要對a分a>1和0<a<1兩種情況進行討論，要能夠畫出函數(shù)圖象的簡圖。 _extended="true"
注意：
�。�1）比較兩個指數(shù)或?qū)?shù)的大小的基本方法是構造相應的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，若底數(shù)不相同時轉化為同底數(shù)的指數(shù)或?qū)?shù)，還要注意與1比較或與0比較。
八、導 數(shù)
1．求導法則：
(c)/=0 這里c是常數(shù)。即常數(shù)的導數(shù)值為0。
(xn)/=nxn－1 特別地：(x)/=1 (x－1)/= ( )/=－x-2 (f(x)±g(x))/= f/(x)±g/(x) (k?f(x))/= k?f/(x)
2．導數(shù)的幾何物理意義：
k＝f/(x0)表示過曲線y=f(x)上的點P(x0,f(x0))的切線的斜率。
V＝s/(t) 表示即時速度。a=v/(t) 表示加速度。
3．導數(shù)的應用：
�、偾笄芯�的斜率。
�、趯�(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系
已知 （1）分析 的定義域;（2）求導數(shù) （3）解不等式 ，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間（4）解不等式 ，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間。
我們在應用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時一定要搞清以下三個關系，才能準確無誤地判斷函數(shù)的單調(diào)性。以下以增函數(shù)為例作簡單的分析，前提條件都是函數(shù) 在某個區(qū)間內(nèi)可導。
�、矍髽O值、求最值。
注意：極值≠最值。函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值為極大值和f(a) 、f(b)中最大的一個。最小值為極小值和f(a) 、f(b)中最小的一個。
f/(x0)＝0不能得到當x=x0時，函數(shù)有極值。
但是，當x=x0時，函數(shù)有極值 f/(x0)＝0
判斷極值，還需結合函數(shù)的單調(diào)性說明。
4.導數(shù)的常規(guī)問題：
（1）刻畫函數(shù)（比初等方法精確細微）；
（2）同幾何中切線聯(lián)系（導數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線）；
�。�3）應用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導數(shù)方法顯得簡便）等關于 次多項式的導數(shù)問題屬于較難類型。
2．關于函數(shù)特征，最值問題較多，所以有必要專項討論，導數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡便。
3．導數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向，應引起注意。
九、不等式
一、不等式的基本性質(zhì)：
注意：(1)特值法是判斷不等式命題是否成立的一種方法，此法尤其適用于不成立的命題。
(2)注意課本上的幾個性質(zhì)，另外需要特別注意：
�、偃鬭b>0，則 。即不等式兩邊同號時，不等式兩邊取倒數(shù)，不等號方向要改變。
�、谌绻麑Σ坏仁絻蛇呁瑫r乘以一個代數(shù)式，要注意它的正負號，如果正負號未定，要注意分類討論。
�、蹐D象法：利用有關函數(shù)的圖象（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)的圖象），直接比較大小。
④中介值法：先把要比較的代數(shù)式與“0”比，與“1”比，然后再比較它們的大小
二、均值不等式：兩個數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。
基本應用：①放縮，變形；
�、谇蠛瘮�(shù)最值：注意：①一正二定三相等；②積定和最小，和定積最大。
常用的方法為：拆、湊、平方；
三、絕對值不等式：
注意：上述等號“＝”成立的條件；
四、常用的.基本不等式：
五、證明不等式常用方法：
�。�1）比較法：作差比較：
作差比較的步驟：
�、抛鞑睿簩σ容^大小的兩個數(shù)（或式）作差。
�、谱冃危簩Σ钸M行因式分解或配方成幾個數(shù)（或式）的完全平方和。
�、桥袛嗖畹姆枺航Y合變形的結果及題設條件判斷差的符號。
注意：若兩個正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小。
（2）綜合法：由因?qū)Ч?/p>
�。�3）分析法：執(zhí)果索因�；静襟E：要證……只需證……，只需證……
�。�4）反證法：正難則反。
�。�5）放縮法：將不等式一側適當?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的。
放縮法的方法有：
�、盘砑踊蛏崛ヒ恍╉�，
⑵將分子或分母放大（或縮�。�
⑶利用基本不等式，
（6）換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。
�。�7）構造法：通過構造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式；
十、不等式的解法：
（1）一元二次不等式： 一元二次不等式二次項系數(shù)小于零的，同解變形為二次項系數(shù)大于零；注：要對 進行討論：
�。�2）絕對值不等式：若 ，則 ； ；
注意：
(1）解有關絕對值的問題，考慮去絕對值，去絕對值的方法有：
�、艑^對值內(nèi)的部分按大于、等于、小于零進行討論去絕對值；
(2).通過兩邊平方去絕對值；需要注意的是不等號兩邊為非負值。
(3）.含有多個絕對值符號的不等式可用“按零點分區(qū)間討論”的方法來解。
�。�4）分式不等式的解法：通解變形為整式不等式；
�。�5）不等式組的解法：分別求出不等式組中，每個不等式的解集，然后求其交集，即是這個不等式組的解集，在求交集中，通常把每個不等式的解集畫在同一條數(shù)軸上，取它們的公共部分。
（6）解含有參數(shù)的不等式：
解含參數(shù)的不等式時，首先應注意考察是否需要進行分類討論.如果遇到下述情況則一般需要討論：
�、俨坏仁絻啥顺顺粋�含參數(shù)的式子時，則需討論這個式子的正、負、零性.
②在求解過程中，需要使用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，則需對它們的底數(shù)進行討論.
�、墼诮夂凶帜傅囊辉尾坏仁綍r，需要考慮相應的二次函數(shù)的開口方向，對應的一元二次方程根的狀況（有時要分析△），比較兩個根的大小,設根為 （或更多）但含參數(shù)，要討論。
十一、數(shù)列
本章是高考命題的主體內(nèi)容之一，應切實進行全面、深入地復習，并在此基礎上，突出解決下述幾個問題：（1）等差、等比數(shù)列的證明須用定義證明，值得注意的是，若給出一個數(shù)列的前 項和 ，則其通項為 若 滿足 則通項公式可寫成 .（2）數(shù)列計算是本章的中心內(nèi)容，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、前 項和公式及其性質(zhì)熟練地進行計算，是高考命題重點考查的內(nèi)容.（3）解答有關數(shù)列問題時，經(jīng)常要運用各種數(shù)學思想.善于使用各種數(shù)學思想解答數(shù)列題，是我們復習應達到的目標. ①函數(shù)思想：等差等比數(shù)列的通項公式求和公式都可以看作是 的函數(shù)，所以等差等比數(shù)列的某些問題可以化為函數(shù)問題求解.
�、诜诸愑懻撍枷耄河玫缺葦�(shù)列求和公式應分為 及 ；已知 求 時，也要進行分類；
�、壅w思想：在解數(shù)列問題時，應注意擺脫呆板使用公式求解的思維定勢，運用整
體思想求解.
�。�4）在解答有關的數(shù)列應用題時，要認真地進行分析，將實際問題抽象化，轉化為數(shù)學問題，再利用有關數(shù)列知識和方法來解決.解答此類應用題是數(shù)學能力的綜合運用，決不是簡單地模仿和套用所能完成的.特別注意與年份有關的等比數(shù)列的第幾項不要弄錯.
一、基本概念：
1、 數(shù)列的定義及表示方法：
2、 數(shù)列的項與項數(shù)：
3、 有窮數(shù)列與無窮數(shù)列：
4、 遞增（減）、擺動、循環(huán)數(shù)列：
5、 數(shù)列的通項公式an：
6、 數(shù)列的前n項和公式Sn:
7、 等差數(shù)列、公差d、等差數(shù)列的結構：
8、 等比數(shù)列、公比q、等比數(shù)列的結構：
二、基本公式：
9、一般數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關系：an=
10、等差數(shù)列的通項公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項、ak為已知的第k項) 當d≠0時，an是關于n的一次式；當d=0時，an是一個常數(shù)。
11、等差數(shù)列的前n項和公式：Sn= Sn= Sn=
當d≠0時，Sn是關于n的二次式且常數(shù)項為0；當d=0時（a1≠0），Sn=na1是關于n的正比例式。
12、等比數(shù)列的通項公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k
(其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0)
13、等比數(shù)列的前n項和公式：當q=1時，Sn=n a1 (是關于n的正比例式)；
當q≠1時，Sn= Sn=
三、有關等差、等比數(shù)列的結論
14、等差數(shù)列的任意連續(xù)m項的和構成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等差數(shù)列。
15、等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則
16、等比數(shù)列中，若m+n=p+q，則
17、等比數(shù)列的任意連續(xù)m項的和構成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等比數(shù)列。
18、兩個等差數(shù)列與的和差的數(shù)列、仍為等差數(shù)列。
19、兩個等比數(shù)列與的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列
、 、 仍為等比數(shù)列。
20、等差數(shù)列的任意等距離的項構成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。
21、等比數(shù)列的任意等距離的項構成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。
22、三個數(shù)成等差的設法：a-d,a,a+d；四個數(shù)成等差的設法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
23、三個數(shù)成等比的設法：a/q,a,aq；
四個數(shù)成等比的錯誤設法：a/q3,a/q,aq,aq3
24、為等差數(shù)列，則 (c>0)是等比數(shù)列。
25、（bn>0）是等比數(shù)列，則 (c>0且c 1) 是等差數(shù)列。
四、數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。關鍵是找數(shù)列的通項結構。
26、分組法求數(shù)列的和：如an=2n+3n
27、錯位相減法求和：如an=(2n-1)2n
28、裂項法求和：如an=1/n(n+1)
29、倒序相加法求和：
30、求數(shù)列的最大、最小項的方法：
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
�、� an=f(n) 研究函數(shù)f(n)的增減性
31、在等差數(shù)列 中,有關Sn 的最值問題——常用鄰項變號法求解：
(1)當 >0,d<0時，滿足 的項數(shù)m使得 取最大值.
(2)當<0,d>0時，滿足 的項數(shù)m使得 取最小值。
在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉化思想的應用。
十二、平面向量
1．基本概念：
向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線向量、相等向量。
2． 加法與減法的代數(shù)運算：
(1)若a=（x1,y1 ）,b=（x2,y2 ）則a b=（x1+x2,y1+y2 ）．
向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。
向量加法有如下規(guī)律： ＋ = ＋ (交換律); +( +c)=( + )+c （結合律）;
3．實數(shù)與向量的積：實數(shù) 與向量 的積是一個向量。
(1)｜ ｜=｜ ｜·｜ ｜;
(2) 當 a＞0時， 與a的方向相同；當a＜0時， 與a的方向相反；當 a=0時，a=0．
兩個向量共線的充要條件：
(1) 向量b與非零向量 共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù) ，使得b= ．
(2) 若 =（ ）,b=（ ）則 ‖b ．
平面向量基本定理：
若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對實數(shù) ， ，使得 = e1+ e2．
4．P分有向線段 所成的比：
設P1、P2是直線 上兩個點，點P是 上不同于P1、P2的任意一點，則存在一個實數(shù) 使 = ， 叫做點P分有向線段 所成的比。
當點P在線段 上時， ＞0；當點P在線段 或 的延長線上時， ＜0；
分點坐標公式：若 = ； 的坐標分別為（ ）,（ ）,（ ）；則 （ ≠－1）， 中點坐標公式： ．
5． 向量的數(shù)量積：
�。�1）．向量的夾角：
已知兩個非零向量 與b，作 = , =b,則∠AOB= （ ）叫做向量 與b的夾角。
�。�2）．兩個向量的數(shù)量積：
已知兩個非零向量 與b，它們的夾角為 ，則 ·b=｜ ｜·｜b｜cos ．
其中｜b｜cos 稱為向量b在 方向上的投影．
（3）．向量的數(shù)量積的性質(zhì)：
若 =（ ）,b=（ ）則e· = ·e=｜ ｜cos (e為單位向量);
⊥b ·b=0 （ ，b為非零向量）;｜ ｜= ;
cos = = ．
(4) ．向量的數(shù)量積的運算律：
·b=b· ;( )·b= ( ·b)= ·( b);( ＋b)·c= ·c+b·c．
6.主要思想與方法：
本章主要樹立數(shù)形轉化和結合的觀點，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關位置關系，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往會與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結合起來進行綜合考查，是知識的交匯點。
十三、立體幾何
1.平面的基本性質(zhì)：掌握三個公理及推論，會說明共點、共線、共面問題。
能夠用斜二測法作圖。
2.空間兩條直線的位置關系：平行、相交、異面的概念；
會求異面直線所成的角和異面直線間的距離；證明兩條直線是異面直線一般用反證法。
3.直線與平面
①位置關系：平行、直線在平面內(nèi)、直線與平面相交。
�、谥本�與平面平行的判斷方法及性質(zhì),判定定理是證明平行問題的依據(jù)。
�、壑本�與平面垂直的證明方法有哪些？
④直線與平面所成的角：關鍵是找它在平面內(nèi)的射影，范圍是
�、萑咕�定理及其逆定理：每年高考試題都要考查這個定理. 三垂線定理及其逆定理主要用于證明垂直關系與空間圖形的度量.如：證明異面直線垂直，確定二面角的平面角，確定點到直線的垂線.
4.平面與平面
(1)位置關系：平行、相交，（垂直是相交的一種特殊情況）
(2)掌握平面與平面平行的證明方法和性質(zhì)。
(3)掌握平面與平面垂直的證明方法和性質(zhì)定理。尤其是已知兩平面垂直，一般是依據(jù)性質(zhì)定理，可以證明線面垂直。
(4)兩平面間的距離問題→點到面的距離問題→
(5)二面角。二面角的平面交的作法及求法：
�、俣x法，一般要利用圖形的對稱性；一般在計算時要解斜三角形；
�、诖咕�、斜線、射影法，一般要求平面的垂線好找，一般在計算時要解一個直角三角形。
�、凵溆懊娣e法，一般是二面交的兩個面只有一個公共點，兩個面的交線不容易找到時用此法
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