考研數(shù)學(xué)高數(shù)求極限的復(fù)習(xí)方法及常考題型
極限可以說是高數(shù)的重點(diǎn)，是每年都必考的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，復(fù)習(xí)高數(shù)的時(shí)候，求極限大家一定要多理解多做題。小編為大家精心準(zhǔn)備了考研數(shù)學(xué)高數(shù)求極限的復(fù)習(xí)參考資料，歡迎大家前來閱讀。
考研數(shù)學(xué)高數(shù)求極限的16個(gè)方法及�？碱}型
解決極限的方法如下：
1、等價(jià)無窮小的轉(zhuǎn)化，(只能在乘除時(shí)候使用，但是不是說一定在加減時(shí)候不能用,前提是必須證明拆分后極限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等價(jià)于Ax等等。全部熟記(x趨近無窮的時(shí)候還原成無窮小)。
2、洛必達(dá)法則(大題目有時(shí)候會(huì)有暗示要你使用這個(gè)方法)。首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提!必須是X趨近而不是N趨近!(所以面對數(shù)列極限時(shí)候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件(還有一點(diǎn)數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無窮的，不可能是負(fù)無窮!)必須是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在!(假如告訴你g(x),沒告訴你是否可導(dǎo)，直接用，無疑于找死!!)必須是0比0無窮大比無窮大!當(dāng)然還要注意分母不能為0。洛必達(dá)法則分為3種情況：0比0無窮比無窮時(shí)候直接用;0乘以無窮，無窮減去無窮(應(yīng)為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關(guān)系)所以無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項(xiàng)之后這樣就能變成第一種的形式了;0的0次方，1的無窮次方，無窮的0次方。對于(指數(shù)冪數(shù))方程方法主要是取指數(shù)還取對數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，(這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時(shí)候他的冪移下來趨近于0，當(dāng)他的冪移下來趨近于無窮的時(shí)候，LNX趨近于0)。
3、泰勒公式(含有e的x次方的時(shí)候,尤其是含有正余弦的加減的時(shí)候要特變注意!)E的x展開sina，展開cosa,展開ln1+x,對題目簡化有很好幫助。
4、面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法,取大頭原則最大項(xiàng)除分子分母!!!看上去復(fù)雜,處理很簡單!
5、無窮小于有界函數(shù)的處理辦法,面對復(fù)雜函數(shù)時(shí)候,尤其是正余弦的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時(shí)候,一定要注意這個(gè)方法。面對非常復(fù)雜的函數(shù)，可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了!
6、夾逼定理(主要對付的是數(shù)列極限!)這個(gè)主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴(kuò)大。
7、等比等差數(shù)列公式應(yīng)用(對付數(shù)列極限)(q絕對值符號(hào)要小于1)。
8、各項(xiàng)的拆分相加(來消掉中間的大多數(shù))(對付的還是數(shù)列極限)可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)。
9、求左右極限的方式(對付數(shù)列極限)例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下,xn的極限與xn+1的極限時(shí)一樣的，因?yàn)闃O限去掉有限項(xiàng)目極限值不變化。
10、兩個(gè)重要極限的應(yīng)用。這兩個(gè)很重要!對第一個(gè)而言是X趨近0時(shí)候的sinx與x比值。第2個(gè)就如果x趨近無窮大，無窮小都有對有對應(yīng)的形式(第2個(gè)實(shí)際上是用于函數(shù)是1的無窮的形式)(當(dāng)?shù)讛?shù)是1的時(shí)候要特別注意可能是用地兩個(gè)重要極限)
11、還有個(gè)方法，非常方便的方法,就是當(dāng)趨近于無窮大時(shí)候,不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的!x的x次方快于x!快于指數(shù)函數(shù)，快于冪數(shù)函數(shù)，快于對數(shù)函數(shù)(畫圖也能看出速率的快慢)!!當(dāng)x趨近無窮的時(shí)候，他們的比值的極限一眼就能看出來了。
12、換元法是一種技巧,不會(huì)對單一道題目而言就只需要換元，而是換元會(huì)夾雜其中。
13、假如要算的話四則運(yùn)算法則也算一種方法，當(dāng)然也是夾雜其中的。
14、還有對付數(shù)列極限的一種方法，就是當(dāng)你面對題目實(shí)在是沒有辦法，走投無路的時(shí)候可以考慮轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。
15、單調(diào)有界的性質(zhì)，對付遞推數(shù)列時(shí)候使用證明單調(diào)性!
16、直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來求極限，(一般都是x趨近于0時(shí)候，在分子上f(x加減某個(gè)值)加減f(x)的形式,看見了要特別注意)(當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時(shí)候f(0)導(dǎo)數(shù)=0的時(shí)候，就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義!
函數(shù)是表皮,函數(shù)的性質(zhì)也體現(xiàn)在積分微分中。例如他的奇偶性質(zhì)他的周期性。還有復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)：
1、奇偶性，奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱偶函數(shù)關(guān)于軸對稱偶函數(shù)左右2邊的圖形一樣(奇函數(shù)相加為0);
2、周期性也可用在導(dǎo)數(shù)中在定積分中也有應(yīng)用定積分中的函數(shù)是周期函數(shù)積分的周期和他的一致;
3、復(fù)合函數(shù)之間是自變量與應(yīng)變量互換的關(guān)系;
4、還有個(gè)單調(diào)性。(再求0點(diǎn)的時(shí)候可能用到這個(gè)性質(zhì)!(可以導(dǎo)的函數(shù)的單調(diào)性和他的導(dǎo)數(shù)正負(fù)相關(guān)):o再就是總結(jié)一下間斷點(diǎn)的問題(應(yīng)為一般函數(shù)都是連續(xù)的所以間斷點(diǎn)是對于間斷函數(shù)而言的)間斷點(diǎn)分為第一類和第二類剪斷點(diǎn)。第一類是左右極限都存在的(左右極限存在但是不等跳躍的的間斷點(diǎn)或者左右極限存在相等但是不等于函數(shù)在這點(diǎn)的值可取的間斷點(diǎn);第二類間斷點(diǎn)是震蕩間斷點(diǎn)或者是無窮極端點(diǎn)(這也說明極限即使不存在也有可能是有界的)。
下面總結(jié)一下，求極限的一般題型：
1、求分段函數(shù)的極限，當(dāng)函數(shù)含有絕對值符號(hào)時(shí)，就很有可能是有分情況討論的了!當(dāng)X趨近無窮時(shí)候存在e的x次方的時(shí)候，就要分情況討論應(yīng)為E的x次方的函數(shù)正負(fù)無窮的結(jié)果是不一樣的!
2、極限中含有變上下限的積分如何解決嘞?說白了，就是說函數(shù)中現(xiàn)在含有積分符號(hào)，這么個(gè)符號(hào)在極限中太麻煩了你要想辦法把它搞掉!
解決辦法：
1、求導(dǎo)，邊上下限積分求導(dǎo)，當(dāng)然就能得到結(jié)果了，這不是很容易么?但是!有2個(gè)問題要注意!問題1：積分函數(shù)能否求導(dǎo)?題目沒說積分可以導(dǎo)的話，直接求導(dǎo)的話是錯(cuò)誤的!!!!問題2：被積分函數(shù)中既含有t又含有x的情況下如何解決?
解決1的方法：就是方法2微分中值定理!微分中值定理是函數(shù)與積分的聯(lián)系!更重要的是他能去掉積分符號(hào)!解決2的方法：當(dāng)x與t的函數(shù)是相互乘的關(guān)系的話，把x看做常數(shù)提出來，再求導(dǎo)數(shù)!!當(dāng)x與t是除的關(guān)系或者是加減的關(guān)系,就要換元了!(換元的時(shí)候積分上下限也要變化!)
3、求的是數(shù)列極限的問題時(shí)候:夾逼或者分項(xiàng)求和定積分都不可以的時(shí)候,就考慮x趨近的時(shí)候函數(shù)值,數(shù)列極限也滿足這個(gè)極限的,當(dāng)所求的極限是遞推數(shù)列的時(shí)候:首先:判斷數(shù)列極限存在極限的方法是否用的'單調(diào)有界的定理。判斷單調(diào)性不能用導(dǎo)數(shù)定義!!數(shù)列是離散的,只能用前后項(xiàng)的比較(前后項(xiàng)相除相減)，數(shù)列極限是否有界可以使用歸納法最后對xn與xn+1兩邊同時(shí)求極限,就能出結(jié)果了!
4、涉及到極限已經(jīng)出來了讓你求未知數(shù)和位置函數(shù)的問題。
解決辦法：主要還是運(yùn)用等價(jià)無窮小或者是同階無窮小。因?yàn)槔?當(dāng)x趨近0時(shí)候f(x)比x=3的函數(shù),分子必須是無窮小，否則極限為無窮,還有洛必達(dá)法則的應(yīng)用,主要是因?yàn)楫?dāng)未知數(shù)有幾個(gè)時(shí)候,使用洛必達(dá)法則,可以消掉某些未知數(shù)，求其他的未知數(shù)。
5、極限數(shù)列涉及到的證明題，只知道是要構(gòu)造新的函數(shù)，但是不太會(huì)!!!
:o最后總結(jié)一下間斷點(diǎn)的題型：
首先，遇見間斷點(diǎn)的問題、連續(xù)性的問題、復(fù)合函數(shù)的問題，在某個(gè)點(diǎn)是否可導(dǎo)的問題。主要解決辦法一個(gè)是畫圖，你能畫出反例來當(dāng)然不可以了，你實(shí)在畫不出反例，就有可能是對的，尤其是那些考概念的題目，難度不小，對我而言證明很難的!我就畫圖!!我要能畫出來當(dāng)然是對的，在這里就要很好的理解一階導(dǎo)的性質(zhì)2階導(dǎo)的性質(zhì)，函數(shù)圖形的凹凸性，函數(shù)單調(diào)性函數(shù)的奇偶性在圖形中的反應(yīng)!(在這里尤其要注意分段函數(shù)!(例如分段函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在還相等但是卻不連續(xù)這個(gè)性質(zhì)就比較特殊!!應(yīng)為一般的函數(shù)都是連續(xù)的);
方法2就是舉出反例!(在這里也是尤其要注意分段函數(shù)!!)例如一個(gè)函數(shù)是個(gè)離散函數(shù)，還有個(gè)也是離散函數(shù)他們的復(fù)合函數(shù)是否一定是離散的嘞?答案是NO，舉個(gè)反例就可以了;
方法3上面的都不行那就只好用定義了，主要是寫出公式，連續(xù)性的公式，求在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的公式
:o最后了，總結(jié)一下函數(shù)在某一點(diǎn)是否可導(dǎo)的問題：
1、首先函數(shù)連續(xù)不一定可導(dǎo)，分段函數(shù)x絕對值函數(shù)在(0，0)不可導(dǎo)，我的理解就是：不可導(dǎo)=在這點(diǎn)上圖形不光滑。可導(dǎo)一定連續(xù)，因?yàn)樗袀�(gè)前提，在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，假如沒有這個(gè)前提，分段函數(shù)左右的導(dǎo)數(shù)也能相等;
主要考點(diǎn)1：函數(shù)在某一點(diǎn)可導(dǎo)，他的絕對值函數(shù)在這點(diǎn)是否可導(dǎo)?解決辦法：記住函數(shù)絕對值的導(dǎo)數(shù)等于f(x)除以(絕對值(f(x)))再乘以F(x)的導(dǎo)數(shù)。所以判斷絕對值函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)，首先判斷函數(shù)等于0的點(diǎn)，找出這些點(diǎn)之后，這個(gè)導(dǎo)數(shù)并不是百分百不存在，原因很簡單分母是無窮小，假如分子式無窮小的話，絕對值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)依然存在啊，所以還要找出f(a)導(dǎo)數(shù)的值，不為0的時(shí)候，絕對值函數(shù)在這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是無窮，所以絕對值函數(shù)在這些點(diǎn)上是不可導(dǎo)的啊。
考點(diǎn)2：處處可導(dǎo)的函數(shù)與在，某一些點(diǎn)不可導(dǎo)但是連續(xù)的函數(shù)相互乘的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)的判斷，直接使用導(dǎo)數(shù)的定義就能證明，我的理解是f(x)連續(xù)的話但是不可導(dǎo)，左右導(dǎo)數(shù)存在但是不等，左右導(dǎo)數(shù)實(shí)際上就是X趨近a的2個(gè)極限，f(x)乘以G(x)的函數(shù)在x趨近a的時(shí)候，f(x)在這點(diǎn)上的這2個(gè)極限乘以g(a)，當(dāng)g(a)等于0的時(shí)候，左右極限乘以0當(dāng)然相等了，乘積的導(dǎo)數(shù)=f(a)導(dǎo)數(shù)乘以G(a)+G(a)導(dǎo)數(shù)乘以F(a)，應(yīng)為f(a)導(dǎo)數(shù)乘以G(a)=0，前面推出來了，所以乘積函數(shù)在這點(diǎn)上就可導(dǎo)了。導(dǎo)數(shù)為G(a)導(dǎo)數(shù)乘以F(a)。
考研數(shù)學(xué)線代復(fù)習(xí)先掌握科目3大規(guī)律
▶考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)相比較高等數(shù)學(xué)和概率論而言，呈現(xiàn)明顯不同的學(xué)科特點(diǎn)——概念多、定理多、符號(hào)多、運(yùn)算規(guī)律多、內(nèi)容縱橫交錯(cuò)以及知識(shí)點(diǎn)前后緊密聯(lián)系。
如果說高等數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)算“條”的話，那么概率論就應(yīng)該算“塊”，而線性代數(shù)就是“網(wǎng)”!具體來看，線性代數(shù)這整張網(wǎng)，又是由行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值與特征向量以及二次型這6張小網(wǎng)相互交叉聯(lián)結(jié)而成。而其中向量和線性方程組這兩張網(wǎng)又在其中起著承前啟后、上下銜接的關(guān)鍵作用。
通過上面的分析，大家是不是發(fā)現(xiàn)——向量和線性方程組是線性代數(shù)的重難點(diǎn)內(nèi)容，也是考研的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一?這一點(diǎn)也可以從歷年真題的出題規(guī)律上得到驗(yàn)證。
關(guān)于第三章向量，無論是大題還是小題都特別容易出考題，06年以來每年都有一道考題，不是考察向量組的線性表示就是向量組的線性相關(guān)性的判斷，10年還考了一道向量組秩的問題。
關(guān)于第四章線性方程組，06年以來只有11年沒有出大題，其他幾年的考題均是含參方程的求解或者是解的判定問題。
考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)暑期強(qiáng)化復(fù)習(xí)階段重點(diǎn)應(yīng)放在充分理解概念，掌握定理的條件、結(jié)論、應(yīng)用，熟悉符號(hào)意義，掌握各種運(yùn)算規(guī)律、計(jì)算方法上，并及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，抓聯(lián)系，使所學(xué)知識(shí)能融會(huì)貫通，舉一反三。
▶向量—理解相關(guān)無關(guān)概念，靈活進(jìn)行判定
向量組的線性相關(guān)問題是向量部分的重中之重，也是考研線性代數(shù)每年必出的考點(diǎn)。如何掌握這部分內(nèi)容呢?首先在于對定義、性質(zhì)和定理的理解，然后就是分析判定的關(guān)鍵在于：看是否存在一組不全為零的實(shí)數(shù)。
這部分題型有如下幾種：判定向量組的線性相關(guān)性、向量組線性相關(guān)性的證明、判定一個(gè)向量能否由一向量組線性表出、向量組的秩和極大無關(guān)組的求法、有關(guān)秩的證明、有關(guān)矩陣與向量組等價(jià)的命題、與向量空間有關(guān)的命題(數(shù)一)。
要判斷(證明)向量組的線性相關(guān)性(無關(guān)性)，首先會(huì)考慮用定義法來做，其次會(huì)用向量組的線性相關(guān)性(無關(guān)性)的一些重要性質(zhì)和定理結(jié)合反證法來做。同時(shí)會(huì)考慮用向量組的線性相關(guān)性(無關(guān)性)與齊次線性方程組有非零解(只有零解)之間的聯(lián)系和用矩陣的秩與向量組的秩之間的聯(lián)系來做。
▶線性方程組——解的結(jié)構(gòu)和(不)含參量線性方程組的求解
要解決線性方程組解的結(jié)構(gòu)和求法的問題，首先應(yīng)考慮線性方程組的基礎(chǔ)解系，然后再利用基礎(chǔ)解系的線性無關(guān)性、與矩陣的秩之間的聯(lián)系等一些重要性質(zhì)來解決線性方程組解的結(jié)構(gòu)和含參量的線性方程組解的討論問題，同時(shí)用線性方程組解結(jié)構(gòu)的幾個(gè)重要性質(zhì)求解(不)含參量線性方程組的解。
即使是多么令童鞋聞風(fēng)喪膽的數(shù)學(xué)，其實(shí)都有一定的規(guī)律可循。通過考試來分析整體情況，這樣有重點(diǎn)復(fù)習(xí)，相信同學(xué)們一定會(huì)抓住數(shù)學(xué)，決勝數(shù)學(xué)!
考研數(shù)學(xué)六類學(xué)習(xí)方法解讀
(1)強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)而不是復(fù)習(xí)
對于大部分同學(xué)而言，由于高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)間比較早，而且原來學(xué)習(xí)所針對的難度并不是很大，又加上遺忘，現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)恐怕已經(jīng)所剩無幾了，所以，這一遍強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)，要拿出重新學(xué)習(xí)的勁頭親自動(dòng)手去做，去思考。
(2)復(fù)習(xí)順序的選擇問題
我們建議先高等數(shù)學(xué)再線性代數(shù)再概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。高等數(shù)學(xué)是線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，一定要先學(xué)習(xí)。我們并不主張三門課齊頭并進(jìn)，畢竟三門課有所區(qū)別，要學(xué)一門就先學(xué)精了再繼續(xù)推進(jìn)，做成“夾生飯”會(huì)讓你有種騎虎難下的感覺，到時(shí)你反而會(huì)耗費(fèi)更多的時(shí)間去收拾爛攤子。同學(xué)們也可根據(jù)自己的特殊情況調(diào)整復(fù)習(xí)順序。
(3)注意基本概念、基本方法和基本定理的復(fù)習(xí)掌握
結(jié)合考研輔導(dǎo)書和大綱，先吃透基本概念、基本方法和基本定理，只有對基本概念深入理解，對基本定理和公式牢牢記住，才能找到解題的突破口和切入點(diǎn)。分析表明，考生失分的一個(gè)重要原因就是對基本概念、基本定理理解不準(zhǔn)確，基本解題方法沒有掌握。
因此，首輪復(fù)習(xí)必須在掌握和理解數(shù)學(xué)基本概念、基本定理、重要的數(shù)學(xué)原理、重要的數(shù)學(xué)結(jié)論等數(shù)學(xué)基本要素上下足工夫，如果這個(gè)基礎(chǔ)打不牢，其他一切都是空中樓閣。
(4)加強(qiáng)練習(xí)，重視總結(jié)、歸納解題思路、方法和技巧
數(shù)學(xué)考試的所有任務(wù)就是解題，而基本概念、公式、結(jié)論等也只有在反復(fù)練習(xí)中才能真正理解和鞏固。試題千變?nèi)f化，但其知識(shí)結(jié)構(gòu)卻基本相同，題型也相對固定，一般存在相應(yīng)的解題規(guī)律。通過大量的訓(xùn)練可以切實(shí)提高數(shù)學(xué)的解題能力，做到面對任何試題都能有條不紊地分析和計(jì)算。
(5)不要依賴答案
學(xué)習(xí)的過程中一定要力求全部理解和掌握知識(shí)點(diǎn)，做題的過程中先不要看答案，如果題目確實(shí)做不出來，可以先看答案，看明白之后再拋棄答案自己把題目獨(dú)立地做一遍。不要以為看明白了就會(huì)了，只有自己真正做一遍，印象才能深刻。
(6)強(qiáng)調(diào)積極主動(dòng)地親自參與，并整理出筆記
注意一定要在學(xué)習(xí)過程中寫出自己的感受，可以在書上以題注的形式或者就是做筆記，盡量深挖例題內(nèi)涵，這一點(diǎn)很重要，并且要貫徹前三輪的復(fù)習(xí)，如果最后一輪復(fù)習(xí)我們有了自己整理的筆記，就會(huì)很輕松。有同學(xué)說學(xué)習(xí)線性代數(shù)最好的辦法就是親自推導(dǎo)，這話很有道理，事實(shí)上如果我們學(xué)習(xí)什么知識(shí)都采取這種態(tài)度的話，那肯定都會(huì)學(xué)得非常好。
【考研數(shù)學(xué)高數(shù)求極限的復(fù)習(xí)方法及常考題型】相關(guān)文章：
考研數(shù)學(xué)高數(shù)�？嫉膬�(nèi)容及題型01-26
考研數(shù)學(xué)高數(shù)復(fù)習(xí)有哪些�？純�(nèi)容及題型12-01
考研數(shù)學(xué)高數(shù)復(fù)習(xí)無窮級(jí)數(shù)�？純�(nèi)容及題型12-06
考研數(shù)學(xué)高數(shù)最�？寄男╊}型12-19
考研數(shù)學(xué)高數(shù)最�？嫉念}型有哪些12-05
考研數(shù)學(xué)高數(shù)沖刺的�？贾R(shí)點(diǎn)12-22