2024年全國III卷高考數(shù)學(xué)真題及答案

　　在學(xué)習(xí)和工作的日常里，我們會經(jīng)常接觸并使用真題，真題是學(xué)�；蚋髦鬓k方考核某種知識才能的標(biāo)準(zhǔn)。你知道什么樣的真題才是好真題嗎？下面是小編整理的2024年全國III卷高考數(shù)學(xué)真題及答案，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。

　　真題及答案1：

　　1.某個(gè)自然數(shù)被187除余52，被188除也余52，那么這個(gè)自然數(shù)被22除的余數(shù)是_______.

　　【答案】8

　　【解】這個(gè)自然數(shù)減去52后，就能被187和188整除，為了說明方便，這個(gè)自然數(shù)減去52后所得的數(shù)用M表示，因187=17×11，故M能被11整除；因M能被188整除，故，M也能被2整除，所以，M也能被11×2=22整除，原來的自然數(shù)是M+52，因?yàn)镸能被22整除，當(dāng)考慮M+52被22除后的余數(shù)時(shí)，只需要考慮52被22除后的余數(shù).52=22×2+8這個(gè)自然數(shù)被22除余8.

　　2.有一堆球，如果是10的倍數(shù)個(gè)，就平均分成10堆，并且拿走9堆；如果不是10的倍數(shù)個(gè)，就添加幾個(gè)球(不超過9個(gè))，使這堆球成為10的倍數(shù)個(gè)，然后將這些球平均分成10堆，并且拿走9堆。這個(gè)過程稱為一次操作。如果最初這堆球的個(gè)數(shù)為

　　123456789101112…9899.

　　連續(xù)進(jìn)行操作，直至剩下1個(gè)球?yàn)橹梗�那么共進(jìn)行了次操作；共添加了個(gè)球.

　　【答案】189次；802個(gè)。

　　【解】這個(gè)數(shù)共有189位，每操作一次減少一位。操作188次后，剩下2，再操作一次，剩下1。共操作189次。這個(gè)189位數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是

　　(1+2+3+…+9)20=900。

　　由操作的過程知道，添加的球數(shù)相當(dāng)于將原來球數(shù)的每位數(shù)字都補(bǔ)成9，再添1個(gè)球。所以共添球1899-900+1=802(個(gè))。

　　真題及答案2：

　　一、選擇題

　　1.某年級有6個(gè)班，分別派3名語文教師任教，每個(gè)教師教2個(gè)班，則不同的任課方法種數(shù)為( )

　　A.C26C24C22 B.A26A24A22

　　C.C26C24C22C33 D.A26C24C22A33

　　[答案] A

　　2.從單詞“equation”中取5個(gè)不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相連且順序不變)的不同排法共有( )

　　A.120種 B.480種

　　C.720種 D.840種

　　[答案] B

　　[解析] 先選后排，從除qu外的6個(gè)字母中任選3個(gè)字母有C36種排法，再將qu看成一個(gè)整體(相當(dāng)于一個(gè)元素)與選出的3個(gè)字母進(jìn)行全排列有A44種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同排法共有C36A44＝480(種).

　　3.從編號為1、2、3、4的四種不同的種子中選出3種，在3塊不同的土地上試種，每塊土地上試種一種，其中1號種子必須試種，則不同的試種方法有( )

　　A.24種 B.18種

　　C.12種 D.96種

　　[答案] B

　　[解析] 先選后排C23A33＝18，故選B.

　　4.把0、1、2、3、4、5這六個(gè)數(shù)，每次取三個(gè)不同的數(shù)字，把其中最大的數(shù)放在百位上排成三位數(shù)，這樣的三位數(shù)有( )

　　A.40個(gè) B.120個(gè)

　　C.360個(gè) D.720個(gè)

　　[答案] A

　　[解析] 先選取3個(gè)不同的數(shù)有C36種方法，然后把其中最大的數(shù)放在百位上，另兩個(gè)不同的數(shù)放在十位和個(gè)位上，有A22種排法，故共有C36A22＝40個(gè)三位數(shù).

　　5.(2010湖南理，7)在某種信息傳輸過程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個(gè)對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為( )

　　A.10 B.11

　　C.12 D.15

　　[答案] B

　　[解析] 與信息0110至多有兩個(gè)對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息包括三類：

　　第一類：與信息0110只有兩個(gè)對應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C24＝6(個(gè))

　　第二類：與信息0110只有一個(gè)對應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C14＝4(個(gè))

　　第三類：與信息0110沒有一個(gè)對應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C04＝1(個(gè))

　　與信息0110至多有兩個(gè)對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息有6＋4＋1＝11(個(gè))

　　6.北京《財(cái)富》全球論壇開幕期間，某高校有14名志愿者參加接待工作.若每天排早，中，晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開幕式當(dāng)天不同的排班種數(shù)為( )

　　A.C414C412C48 B.C1214C412C48

　　C.C1214C412C48A33 D.C1214C412C48A33

　　[答案] B

　　[解析] 解法1：由題意知不同的排班種數(shù)為：C414C410C46＝14×13×12×114！10×9×8×74！6×52�。紺1214C412C48.

　　故選B.

　　解法2：也可先選出12人再排班為：C1214C412C48C44，即選B.

　　7.(2009湖南理5)從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為( )

　　A.85 B.56

　　C.49 D.28

　　[答案] C

　　[解析] 考查有限制條件的組合問題.

　　(1)從甲、乙兩人中選1人，有2種選法，從除甲、乙、丙外的7人中選2人，有C27種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有2C27＝42種.

　　(2)甲、乙兩人全選，再從除丙外的其余7人中選1人共7種選法.

　　由分類計(jì)數(shù)原理知共有不同選法42＋7＝49種.

　　8.以一個(gè)正三棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有( )

　　A.6個(gè) B.12個(gè)

　　C.18個(gè) D.30個(gè)

　　[答案] B

　　[解析] C46－3＝12個(gè)，故選B.

　　9.(2009遼寧理，5)從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有( )

　　A.70種 B.80種

　　C.100種 D.140種

　　[答案] A

　　[解析] 考查排列組合有關(guān)知識.

　　解：可分兩類，男醫(yī)生2名，女醫(yī)生1名或男醫(yī)生1名，女醫(yī)生2名，

　　∴共有C25C14＋C15C24＝70，∴選A.

　　10.設(shè)集合Ⅰ＝{1,2,3,4,5}.選擇Ⅰ的兩個(gè)非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有( )

　　A.50種 B.49種

　　C.48種 D.47種

　　[答案] B

　　[解析] 主要考查集合、排列、組合的基礎(chǔ)知識.考查分類討論的思想方法.

　　因?yàn)榧�合A中的最大元素小于集合B中的最小元素，A中元素從1、2、3、4中取，B中元素從2、3、4、5中取，由于A、B非空，故至少要有一個(gè)元素.

　　1° 當(dāng)A＝{1}時(shí)，選B的方案共有24－1＝15種，

　　當(dāng)A＝{2}時(shí)，選B的方案共有23－1＝7種，

　　當(dāng)A＝{3}時(shí)，選B的方案共有22－1＝3種，

　　當(dāng)A＝{4}時(shí)，選B的方案共有21－1＝1種.

　　故A是單元素集時(shí)，B有15＋7＋3＋1＝26種.

　　2° A為二元素集時(shí)，

　　A中最大元素是2，有1種，選B的方案有23－1＝7種.

　　A中最大元素是3，有C12種，選B的方案有22－1＝3種.故共有2×3＝6種.

　　A中最大元素是4，有C13種.選B的方案有21－1＝1種，故共有3×1＝3種.

　　故A中有兩個(gè)元素時(shí)共有7＋6＋3＝16種.

　　3° A為三元素集時(shí)，

　　A中最大元素是3，有1種，選B的方案有22－1＝3種.

　　A中最大元素是4，有C23＝3種，選B的方案有1種，

　　∴共有3×1＝3種.

　　∴A為三元素時(shí)共有3＋3＝6種.

　　4° A為四元素時(shí)，只能是A＝{1、2、3、4}，故B只能是{5}，只有一種.

　　∴共有26＋16＋6＋1＝49種.

　　二、填空題

　　11.北京市某中學(xué)要把9臺型號相同的電腦送給西部地區(qū)的三所希望小學(xué)，每所小學(xué)至少得到2臺，共有______種不同送法.

　　[答案] 10

　　[解析] 每校先各得一臺，再將剩余6臺分成3份，用插板法解，共有C25＝10種.

　　12.一排7個(gè)座位分給3人坐，要求任何兩人都不得相鄰，所有不同排法的總數(shù)有________種.

　　[答案] 60

　　[解析] 對于任一種坐法，可視4個(gè)空位為0,3個(gè)人為1,2,3則所有不同坐法的種數(shù)可看作4個(gè)0和1,2,3的一種編碼，要求1,2,3不得相鄰故從4個(gè)0形成的5個(gè)空檔中選3個(gè)插入1,2,3即可.

　　∴不同排法有A35＝60種.

　　13.(09海南寧夏理15)7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動.若每天安排3人，則不同的安排方案共有________種(用數(shù)字作答).

　　[答案] 140

　　[解析] 本題主要考查排列組合知識.

　　由題意知，若每天安排3人，則不同的安排方案有

　　C37C34＝140種.

　　14.2010年上海世博會期間，將5名志愿者分配到3個(gè)不同國家的場館參加接待工作，每個(gè)場館至少分配一名志愿者的方案種數(shù)是________種.

　　[答案] 150

　　[解析] 先分組共有C35＋C25C232種，然后進(jìn)行排列，有A33種，所以共有(C35＋C25C232)A33＝150種方案.

　　三、解答題

　　15.解方程Cx2＋3x＋216＝C5x＋516.

　　[解析] 因?yàn)镃x2＋3x＋216＝C5x＋516，所以x2＋3x＋2＝5x＋5或(x2＋3x＋2)＋(5x＋5)＝16，即x2－2x－3＝0或x2＋8x－9＝0，所以x＝－1或x＝3或x＝－9或x＝1.經(jīng)檢驗(yàn)x＝3和x＝－9不符合題意，舍去，故原方程的解為x1＝－1，x2＝1.

　　16.在∠MON的邊OM上有5個(gè)異于O點(diǎn)的點(diǎn)，邊ON上有4個(gè)異于O點(diǎn)的點(diǎn)，以這10個(gè)點(diǎn)(含O點(diǎn))為頂點(diǎn)，可以得到多少個(gè)三角形？

　　[解析] 解法1：(直接法)分幾種情況考慮：O為頂點(diǎn)的三角形中，必須另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在OM、ON上，所以有C15C14個(gè)，O不為頂點(diǎn)的三角形中，兩個(gè)頂點(diǎn)在OM上，一個(gè)頂點(diǎn)在ON上有C25C14個(gè)，一個(gè)頂點(diǎn)在OM上，兩個(gè)頂點(diǎn)在ON上有C15C24個(gè).因?yàn)檫@是分類問題，所以用分類加法計(jì)數(shù)原理，共有C15C14＋C25C14＋C15C24＝5×4＋10×4＋5×6＝90(個(gè)).

　　解法2：(間接法)先不考慮共線點(diǎn)的問題，從10個(gè)不同元素中任取三點(diǎn)的組合數(shù)是C310，但其中OM上的6個(gè)點(diǎn)(含O點(diǎn))中任取三點(diǎn)不能得到三角形，ON上的5個(gè)點(diǎn)(含O點(diǎn))中任取3點(diǎn)也不能得到三角形，所以共可以得到C310－C36－C35個(gè)，即C310－C36－C35＝10×9×81×2×3－6×5×41×2×3－5×41×2＝120－20－10＝90(個(gè)).

　　解法3：也可以這樣考慮，把O點(diǎn)看成是OM邊上的點(diǎn)，先從OM上的6個(gè)點(diǎn)(含O點(diǎn))中取2點(diǎn)，ON上的4點(diǎn)(不含O點(diǎn))中取一點(diǎn)，可得C26C14個(gè)三角形，再從OM上的5點(diǎn)(不含O點(diǎn))中取一點(diǎn)，從ON上的4點(diǎn)(不含O點(diǎn))中取兩點(diǎn)，可得C15C24個(gè)三角形，所以共有C26C14＋C15C24＝15×4＋5×6＝90(個(gè)).

　　17.某次足球比賽共12支球隊(duì)參加，分三個(gè)階段進(jìn)行.

　　(1)小組賽：經(jīng)抽簽分成甲、乙兩組，每組6隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，以積分及凈剩球數(shù)取前兩名；

　　(2)半決賽：甲組第一名與乙組第二名，乙組第一名與甲組第二名作主客場交叉淘汰賽(每兩隊(duì)主客場各賽一場)決出勝者；

　　(3)決賽：兩個(gè)勝隊(duì)參加決賽一場，決出勝負(fù).

　　問全程賽程共需比賽多少場？

　　[解析] (1)小組賽中每組6隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，就是6支球隊(duì)的任兩支球隊(duì)都要比賽一次，所需比賽的場次即為從6個(gè)元素中任取2個(gè)元素的組合數(shù)，所以小組賽共要比賽2C26＝30(場).

　　(2)半決賽中甲組第一名與乙組第二名(或乙組第一名與甲組第二名)主客場各賽一場，所需比賽的場次即為從2個(gè)元素中任取2個(gè)元素的排列數(shù)，所以半決賽共要比賽2A22＝4(場).

　　(3)決賽只需比賽1場，即可決出勝負(fù).

　　所以全部賽程共需比賽30＋4＋1＝35(場).

　　18.有9本不同的課外書，分給甲、乙、丙三名同學(xué)，求在下列條件下，各有多少種分法？

　　(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；

　　(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；

　　(3)甲、乙、丙各得3本.

　　[分析] 由題目可獲取以下主要信息：

　�、�9本不同的課外書分給甲、乙丙三名同學(xué)；

　�、陬}目中的3個(gè)問題的條件不同.

　　解答本題先判斷是否與順序有關(guān)，然后利用相關(guān)的知識去解答.

　　[解析] (1)分三步完成：

　　第一步：從9本不同的書中，任取4本分給甲，有C49種方法；

　　第二步：從余下的5本書中，任取3本給乙，有C35種方法；

　　第三步：把剩下的書給丙有C22種方法，

　　∴共有不同的分法有C49C35C22＝1260(種).

　　(2)分兩步完成：

　　第一步：將4本、3本、2本分成三組有C49C35C22種方法；

　　第二步：將分成的三組書分給甲、乙、丙三個(gè)人，有A33種方法，

　　∴共有C49C35C22A33＝7560(種).

　　(3)用與(1)相同的方法求解，

　　得C39C36C33＝1680(種).

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